数学家聚首牛津尝试破解望月新一的神秘数学证明

2015/12/21

Derived Image. Original Image Credit: Kanijoman

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一批数学家在牛津举行工作坊，讨论、交流对一套复杂数学理论的见解。 这套由数学家望月新一所创的理论，据称能够证明一个重要猜想，然而数学界目前仍未能透彻了解此理论及验证其真伪。

2012年8月，数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）在其网站上贴了4篇论文，宣称证明了「abc猜想 」——一个名不副实地困难的数学问题。 3年过后，数学界仍然未能确定他的证明是否正确。

然而这又并不像骗局或恶作剧。 现年46岁的望月新一，是京都大学数学科学研究所教授。 他1988年以16岁之龄于普林斯顿大学数学系毕业，同年进入该校研究院，7年后取得博士学位。1996年，望月新一成为京都大学数学科学研究所副教授，两年后证明了非阿贝尔几何格罗森迪克猜想。 其后他一直有重要的数学贡献，2002年正式晋升为京都大学教授。

受到关注的4篇论文长达512页，但真正令数学家束手无策的并非证明长度，而在于他使用了大量自创的新概念和技巧，去介绍其「跨宇宙塔赫梅拿理论（Inter- universal Teichmüller theory，简称IUT）」。 而据望月新一所言，这套理论跟他过去创立的几套数学理论有关连。

即使习惯研究抽象理论的数学家，也需要花上大量时间和精神去掌握IUT。 目前已有一些数学家尝试了解及检证这套理论，并提出了数以百计的问题和评论。

突破与沮丧

两个星期前，一批算术几何（arithmetic geometry）——望月新一的专业领域——的专家，便聚集在牛津大学的工作坊 ，希望能够更深入理解这套理论。 工作坊的网页表示，其目的是「介绍及分析望月新一理论中的关键原则、概念、物件和证明，以及研究此理论与现时不同领域中之理论的关系，协助增加此理论的专家人数，并促进更多应用」。

在工作坊的第3天，来自加州大学圣地牙哥分校的Kiran Kedlaya教授指出，2008年望月新一的一篇论文中把abc猜想跟其Frobenioid理论连结起来。 在座的数学家立即辨认出，这是望月新一整个证明策略的重要一步。 （ 20151222更新︰原文按《自然》的报导写成「把abc猜想跟拓扑学连结起来」，但按该报导注脚的文章以及Conrad的笔记 ，应是跟望月新一的Frobenioid理论有关。）

史丹福大学的数论专家Brian Conrad表示，这是研究人员一直等待的突破时刻，但其后未能更进一步。 在工作坊余下的两天，很多听众都如坠五里雾中，对讲课内容感到不明所以。 Conrad认为主要原因是，这些讲课的内容需要听众本来就明白课题，才可以跟得上，否则需要在短时间内掌握大量术语、定义。

Photo Credit: Peter M. Fisher / Corbis / 达志影像

此外，听众一直希望有些具体的例子可以说明相关概念，而讲者却没有提供，使听众更难明白。因此讲课多次被听众的问题打断，使进度落后。 而后来者为赶上进度，又加快讲课内容，使更多听众跟不上，于是提问更多问题。 Conrad认为，假如最后两天的计划，并非要完全讲述完IUT，而是先把当中某些重要概念解释清楚的话，对读者而言将更有启发性。

他认为这个问题的其中一个原因，是明白IUT的学者不够努力去把这套理论讲解清楚。 如果学界打算了解IUT，目前最重要的事，这些学者需要找方法更同行沟通，让其他数学家有个大概印象及明白IUT的要点，再去花时间了解技术细节。

理论有待简化

而另一个问题是，望月新一在想出IUT这套理论时，加了太多后来没有用到的东西进去。 如果要让更多人了解、检验abc猜想的证明，学界必须想办法把这套理论变得更精简。 Kedlaya也认为，他当日的发现仍需要很多人跟进研究，他表示︰「关于事情最终会如何拼合，目前我们未有清楚答案」。 但至少他现在有更大动力去研究望月新一的证明，并希望在这过程中能将之简化。

来自牛津大学的会议主办者金明迥（Minhyong Kim）则认为，大部份参加者在工作坊之前，都对望月新一的证明感到迷惑。 然而现在起码有一些人猜到其整体策略，亦能够把引起混淆的范围收窄。

下一次的工作坊将会在来年7月举行，地点正是京都大学数学科学研究所。 向来不喜欢出国的望月新一，或会出席是次工作坊，向学界讲解其理论。 Kedlaya也打算出席，他认为望月新一的宣称如果属实，将会是极其重要的发现，即使可能要花数年时间去确认，对数学界而言仍然值得。